MATEMATIKA BAB 3 RELASI DAN FUNGSI (7 OKTOBER 2020)

  A. RELASI

    Menyatakan hubungan antara suatu anggota himpunan dengan anggota himpunan lainnya. Himpunan A dan himpunan B dikatakan memiliki relasi jika ada anggota himpunan yang saling berpasangan. Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.

1. Diagram Panah

    Diagram panah merupakan cara yang paling mudah untuk menyatakan suatu relasi. Diagram ini membentuk pola dari suatu relasi ke dalam bentuk gambar arah panah yang menyatakan hubungan antara anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

    Misalnya, ada 4 orang anak yaitu Ali, Siti, Amir dan Rizki. Mereka diminta untuk menyebutkan warna favorit mereka. Ali menyukai warna merah, Siti menyukai warna ungu, Amir menyukai warna hitam, dan Rizki menyukai warna merah. Dari hasil uraian tersebut, terdapat dua buah himpunan. Himpunan pertama adalah himpunan anak, kita sebut himpunan A dan himpunan yang kedua adalah himpunan warna, kita sebut himpunan B. Hubungan antara himpunan A dan himpunan B dapat di ilustrasikan dengan diagram panah seperti berikut:

    Jadi, dapat disimpulkan bahwa diagram panah di atas merupakan relasi antara anak dengan warna yang mereka sukai. Relasi antara kedua himpunan tersebut dapat dinyatakan dengan panah-panah yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. 

2. Himpunan Pasangan Berurutan 

    Selain dengan diagram panah, suatu relasi juga dapat dinyatakan dengan menggunakan himpunan pasangan berurutan. Caranya dengan memasangkan himpunan A dengan himpunan B secara berurutan. Kita dapat mengambil contoh dari contoh diagram panah tadi.

Ali menyukai warna merah

Siti menyukai warna ungu

Amir menyukai warna hitam

Rizki menyukai warna merah

Dari uraian di atas kita dapat menyatakan relasinya dengan himpunan pasangan berurutan seperti berikut: { (Ali, merah), (Siti, ungu), (Amir, hitam), (Rizki, merah)}.

Jadi, relasi antara himpunan A dengan himpunan B dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) dengan x ∈ A dan y ∈ B.

3. Diagram Cartesius

    Menyatakan relasi antara dua himpunan dari pasangan berurutan yang kemudian dituliskan dalam bentuk dot (titik-titik). Contoh dari relasi antara anak dengan warna kesukaannya yaitu himpunan A = {Ali, Siti, Amir, Rizki} dan himpunan B = {merah, ungu, hitam}, dapat digambarkan dalam bentuk diagram Cartesius seperti di bawah ini:

B. FUNGSI

    Apabila sebelumnya pada bagian relasi dari himpunan A dan himpunan B dalam fungsi disebut sebagai fungsi dari A ke B apabiLa setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

    Maka pada fungsi anggota dari himpunan A disebut sebagai domain (daerah asal). Sementara anggota dari himpunan B disebut sebagai kodomain (daerah kawan). Serta anggota yang ada dalam himpunan B yang berpasangan (himpunan C) disebut sebagai range (hasil) dari fungsi f.

Contoh soal 

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} serta B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Sebuah fungsi f: A → B ditentukan oleh 

f(x) = 2x – 1. Maka:

a. Gambarlah fungsi f dengan menggunakan diagram panah.

b. Tentukan range dari fungsi f.

c. Gambarlah grafik dari fungsi f

Jawab:

a. 

c. Grafik Fungsi

C. Korespondensi Satu-satu

Pada kompetisi Liga Indonesia 2007 yang lalu, setiap kesebelasan mempunyai seorang pelatih dan setiap pelatih hanya menangani sebuah kesebelasan.

Misalkan Persib Bandung dilatih oleh Arcan Iurie, Sriwijaya FC dilatih oleh Rahmad Darmawan, Persita Tangerang dilatih oleh Benny Dollo, Pelita Jaya Purwakarta dilatih oleh Fandi Ahmad, dan Deltras Sidoarjo dilatih oleh Jaya Hartono.

Seorang pelatih dalam sebuah kompetisi tidak mungkin melatih dua kesebelasan sekaligus. Begitu juga sebaliknya, sebuah kesebelasan tidak mungkin dilatih oleh pelatih lain yang juga melatih kesebelasan peserta lainnya.

Dalam diagram panah tersebut terlihat bahwa setiap anggota dari himpunan B adalah peta dari himpunan A. Oleh karena itu, himpunan B adalah daerah kawan sekaligus daerah hasil. Pemetaan seperti ini disebut korespondensi satu-satu.

Korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi atau fungsi yang memasangkan setiap anggota A pada tepat satu anggota B dan (sebaliknya) memasangkan setiap anngota B pada tepat setiap anggota A.

Dua buah himpunan A dan B disebut berkorespondensi satu-satu jika setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A. Pada korespondensi satu-satu, jumlah anggota himpunan A dan B haruslah sama.

Bagaimana menentukan banyaknya korespondensi satu-satu dari dua buah himpunan? Coba perhatikan penjelasan berikut.

Misal himpunan A = {a} dan B = {1}. Banyaknya korespon densi satu-satu dari A ke B adalah 1.

Misal himpunan A = {a, b} dan B = {1, 2}. Banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B adalah 2.

Misalkan himpunan A = {a, b, c} dan B = {1, 2, 3}. Banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B adalah 6.

Jika kalian perhatikan ternyata banyaknya korespondensi satu-satu dari A ke B berkaitan erat dengan banyaknya anggota dari masing-masing himpunan itu. Perhatikan tabel berikut ini!

Jika misalnya n(A) = n(B) = n maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin saja terjadi di antara himpunan A dan B adalah sebagai berikut:

n! = n x (n – 1) x (n – 2) x (n – 3) … 4 x 3 x 2 x 1
n! = n faktorial

CONTOH KORESPONDENSI SATU-SATU

Bisa diumpamakan saja bahwa di dalam sebuah kelas ada 5 orang siswa, lalu seorang guru memanggil 5 orang siswa tersebut satu-satu untuk maju di dalam kelas. Adapun nama kelima siswa tersebut adalah Dara, Indah, Gilang, Wulan, dan Amir.

Kita pun dapat memisahkan himpunan siswa dengan nomor absensi hingga menyerupai seperti berikut ini: B = {Amir, Dara, Gilang, Indah, Wulan} dan A {1, 2, 3, 4, 5}. Jadi korelasi dari kedua himpunan ini adalah “nomor absensi”.  Dengan demikian korelasi dari himpunan a ke himpunan b maka dapat digambarkan dengan menggunakan diagram panah sebagai berikut ini:

Silahkan kalian perhatikan secara detail gambar diagram panah diatas. Bisa kalian lihat bahwa setiap anggota yang terdapat di himpunan A saling berpasangan dengan tepat pada masing-masing anggota yang terdapat di dalam himpunan B.

Contoh Soal:

Berapakah banyaknya jumlah korespondensi satu-satu yang dapat dibentuk dari himpunan C = {huruf vokal} dan juga D = {bilangan prima yang jumlahnya kurang dari 13}?

Penyelesaian

Diketahui:

C = {huruf vokal} = {a,i,u,e,o}

D = {bilangan prima yang kurang dari 13} = {2, 3, 5, 7, 11}

Karena n(C) dan n(D) = 5 maka untuk jumlah korespondensi satu-satu antara himpunan C dengan D adalah sebagai berikut:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

SYARAT-SYARAT KORESPONDENSI SATU-SATU

Adapun syarat-syarat korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B adalah sebagai berikut:

1. Himpunan A dan B memiliki banyak sekali anggota yang sama.
2. Ada sebuah relasi yang menggambarkan bahwa masing-masing anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan untuk masing-masing B berpasangan dengan tepat pada setiap anggota himpunan A.
3. Masing-masing anggota daerah hasil tidak akan bercabang terhadap daerah asal atau begitu pula sebaliknya.

Sekian materi yang bisa ibu sampaikan, mudah-mudahan kalian bisa memahami dengan baik materinya. Setelah itu coba kalian kerjakan tugas dibawah ini:

(Sumber : https://blog.ruangguru.com/apa-itu-relasi-dan-fungsi)

(Sumber : https://www.yuksinau.id/relasi-dan-fungsi/)

Peraturan mengerjakan :

1. Tulis soal dan jawabannya

2. Jawaban ditulis dibuku tulis, beri nama lengkap dan kelas

3. Jika sudah jawaban difotokan lalu dikirim ke WA ibu (085323385282)

4. Batas terakhir pengumpulan SAMPAI HARI INI JAM 9 MALAM

SOAL!

1. Ada 5 orang anak yaitu Mina, Tania, Azkia, Septi dan Andini. Mereka diminta untuk menyebutkan makanan favorit mereka. Mina menyukai nasi goreng, Tania menyukai sate, Azkia menyukai lontong, Septi menyukai sate dan Andini menyukai ayam bakar. Dari pernyataan tersebut cobalah kalian tulis dalam bentuk:

a. Diagram panah

b. Himpunan pasangan berurutan

c. Diagram cartesius  

2. Diketahui A = {1, 2, 3, 4} serta B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Sebuah fungsi f: A → B ditentukan oleh f(x) = 2x . Maka:

a. Gambarlah fungsi f dengan menggunakan diagram panah.

b. Tentukan range dari fungsi f.

c. Gambarlah grafik dari fungsi f

3. Diketahui himpunan A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} dan himpunan B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Maka tentukanlah berapa banyak kemungkinan korespondensi satu satu yang dapat dibentuk dari himpunan A ke himpunan B ?

                                                SELAMAT MENGERJAKAN